Absolventi

Dizertační práce je věnována studiu různých aspektů kódování výměny r intervalů. Zaměřujeme se hlavně na substituční vlastnosti těchto slov a na palindromickou komplexitu. Studujeme transformaci výměny 2 a 3 intervalů, kde pro odpovídající slova vznikající z těchto transformací odvozujeme nutnou a postačující podmínku na invariantnost na netriviální substituci. Náš přístup je založen na geometrické reprezentaci 2-iet a 3-iet slov pomocí cut-and-project schématu. V prvním kroku odvozujeme metodu na popis 2-iet slov invariantních na substituci a následně ji zobecňujeme na slova kující výměnu 3 intervalů. Při práci na podmínce pro 3-iet slova používáme jinou vlastnost cut-and-project množin, jmenovitě samopodobnost. Samopodobnost je silně spjata s existení netriviální substituce, která generuje množinu, proto jsme odvodili nutnou a postačující podmínku pro samopodobnost cut-and-project množin. Poslední část práce se zabývá palindromickou komplexitou uniformně rekurentních slov kódujících výměnu r intervalů. Vylepšujeme starší odhad palindromické komplexity pro určitou třídu slov. Protom odvozujeme palindromickou komplexitu pro nedegenerovaná slova kódující výměnu r intervalů. Tento výsledek je zoboecněním známé věty pro r=2.

Práce se věnuje zobecněním sturmovských slov na slova kódující výměnu tří intervalů (3iet slova). Zkoumáme množinu morfismů, která zachovávají 3iet slova (zobecnění sturmovských morfismů) a jejich incidenční matice. Kompletně vyšetříme neprimitivní a částečně primitivní 3iet zachovávající morfismy. Ukážeme také souvislost s invertibilními morfismy.

Míra neuspořádanosti struktury nekonečného slova je charakterizována funkcí zvanou komplexita. Nejběžnějším způsobem určení komplexity je studium speciálních faktorů daného nekonečného slova. Cílem této práce je vytvořit efektivní a uživatelsky příjemný program pro vyhledávání a analýzu stromů speciálních faktorů v nekonečných slovech. Tento nástroj je vhodným zdrojem hypotéz pro následné matematické zkoumání vlastností nekonečných slov.

The aim of this work is to study combinatorial properties of infinite words associated to specific cut-and-project (C&P) sequences. We consider here the C&P scheme in two dimensions with general orientation of the projecting subspaces, and choose the acceptance window in the form of a union of two disjoint unit intervals. We prove that a C&P sequence arising in such a setting has always three to five types of distances between adjacent points. A C&P sequence thus determines a symbolic sequence (infinite word) in four or five letters. The corresponding words can be constructed also by a coding of interval exchange transformations, described with respect to the studied parameters. The densities of the letters are derived, as well as the complexity of the words, which is always n + const or 2n + const. We further determine the palindromic complexity, which is generally equal to P(n) = 4 for odd n≥3 and P(n) = 0 for even n≥2. This implies that the language of the word is invariant under reversal. Finally, we show that the words are, under rather mild assumptions, substitutive.