Oblasti výzkumu

poslední změna: 25-03-2009

Nestandardní číselné soustavy

Jako zobecnění klasických číselných soustav s celočíselným základem navrhl Alfred Rényi reprezentace reálných čísel v systému s obecnou reálnou bází β>1. Takzvaný β-rozvoj reálného čísla lze najít pomocí hladového algoritmu. Tyto zobecněné číselné soustavy mají množství neobvyklých vlastností. Například množina Fin(β) čísel s konečným β-rozvojem není obecně uzavřená na sčítání a násobení. Algebraická charakterizace základů β, pro které Fin(β) tvoří okruh, zůstává otevřeným problémem. Lze také studovat prostorovou a časovou složitost aritmetických operací v β-soustavách. Odhady těchto složitostí jsou známé jen pro úzkou třídu bází β.

Pro algoritmickou složitost aritmetických operací může být vhodné změnit množinu cifer, využívanou k reprezentaci čísel. Například místo dvojkové soustavy s ciframi 0,1 je možné použít tzv. balancovanou dvojkovou soustavu s ciframi -1,0,1. Takto lze čísla zapsat pomocí menšího počtu nenulových cifer, a tedy aritmetické operace s nimi vyžadují méně kroků. Zkoumání takových možností nejen pro soustavy s celočíselným základem je velmi aktuální otevřená otázka.

Dalším typem nestandardních číselných soustav jsou soustavy, kde mocniny jednoho základu β jsou nahrazeny jinou posloupností, zpravidla zadanou lineární rekurencí. Příkladem takové soustavy je reprezentace pomocí Fibonacciho posloupnosti. Při reprezentaci přirozených čísel v takových soustavách vzniká nejednoznačnost, jejíž popis je rovněž zajímavý problém.

Kombinatorika na nekonečných slovech

Mnoho různých matematických a fyzikálních otázek lze redukovat vhodným kódováním na studium vlastností nekonečných slov v konečných abecedách. Základní studované vlastnosti jsou zejména faktorová, či palindormická komplexita, tedy počet podslov, resp. palindromických podslov pevné délky vyskytujících se v daném nekonečném slově; dále balancovanost, slova návratu, opakování motivů. Složitým, ale zajímavým problémem je rozhodnout o tom, zda dané slovo patří do třídy pevných bodů netriviálních morfismů. Pro kryptografické aplikace aperiodických nekonečných slov je významná možnost generování pomocí efektivních algoritmů. Mezi nástroje, které využíváme při popisu těchto vlastností, patří teorie grafů, teorie matic, teorie čísel, či teorie konečných automatů.

Nekonečná slova, kterými se naše skupina zabývá, vznikají při výměně intervalů, kódováním vzdáleností mezi β-celými čísly a speciálními projekcemi vícerozměrných mřížek. Společným průnikem všech těchto skupin nekonečných slov jsou sturmovská slova, tedy aperiodická slova s nejmenší faktorovou komplexitou. Ačkoliv je tato skupina slov nejprobádanější, i pro ně zbývají nedořešené otázky. Nejznámějším příkladen Sturmovského slova je tzv. Fibonacciho řetězec v abecedě {0,1}, který vznikne nekonečným opakováním substituce 0→01, 1→0.

Kombinatorika na slovech je mladý obor a většina výsledků není starší než 30let. Přesto, nebo snad právě proto, je perspektivním oborem pro začínající vědce, které neodradí stohy literatury psané zastaralým matematickým jazykem.

Matematické modely kvazikrystalů

V roce 1984 oznámil německý krystalograf Schechtman existenci látky s ikosahedrálním uspořádáním atomů. Takové uspořádání je ovšem neslučitelné s periodicitou, a proto tento materiál nemohl být klasickým krystalem. Nově objevené látky byly pojmenovány kvazikrystaly a jejich popis se stal velmi aktuální otázkou.

Jeden z matematických modelů kvazikrystalu popisuje pozice atomů v látce. Modelem ideálního kvazikrystalu by proto měla být tzv. delonovská množina, tj. diskrétní taková, jejíž body v jistém smyslu rovnoměrně zaplňují prostor. Delonovskou množinu ovšem představují i pozice atomů amorfní látky, proto se od modelu kvazikrystalu kromě aperiodicity a delonovskosti požadují další vlastnosti. Logickým požadavkem například je, aby množina měla jen konečný počet lokálních konfigurací bodů, nebo aby model měl vhodné chování vzhledem k matematickému analogu difrakce. Jedním z všeobecně přijímaných modelů kvazikrystalu tohoto typu jsou tzv. cut-and-project množiny, tedy množiny vzniklé projekcí výseků z vícerozměrných mřížek na vhodný podprostor.

Mezi zkoumané otázky patří popis geometrických vlastností, jako je výčet lokálních konfigurací, či škálovacích symetrií, ale také studium vlastností fyzikálních systémů definovaných na cut-and-projekt množinách. Například charakter spektra Schrödingerova operátoru s aperiodickým potenciálem rozhoduje o vodivosti v látce modelované odpovídající delonovskou množinou.

Jiný model kvazikrystalu uvažuje buňky – základní jednotky dané látky, které vyplní bez překrývaní fyzikální prostor. Klasický krystal je charakterizován jedinou buňkou, je to např. krychle, šestiboký hranol, atd. Kopiemi této jediné buňky lze zaplnit bez mezer celý prostor. Konečné grupy představující rotační symetrie krystalů vedly ke klasifikací všech možných krystalických skupin. Je známo, že analogické modely pro kvazikrystaly vyžadují použít pro zaplnění prostoru více tvarů buňek najednou. Proto studium matematických modelů kvazikrystalů zasahuje i do oblasti dláždění prostoru, do teorie grup a překvapivě i do teorie fraktálů, které se ukazují být vhodnými stavebními buňkami kvazikrystalů.